Хаос При Решении Уравнения Ван Дер Поля С Условиями Автокоммутации

Статистическое моделирование траекторий решения СДУ Ван-дер-Поля с пуассоновской составляющей осуществляется по схеме, приведенной в . Ряд задач автоматического управления, в частности, синхронизация траекторий, задача слежения связаны с синтезом алгоритмов управления динамическими системами, которые представляют собой совокупность связанных между собой активных подсистем. В работе рассмотрена задача синхронизации колебаний для двух осцилляторов Ван дер Поля, связанных линейной упругой связью. Предполагается, что одна из подсистем зависит от внешнего управляющего воздействия.

Важное значение приобрело применение математических методов в экономике. Во многих университетах и институтах созданы факультеты прикладной и вычислительной математики.

Параметрический анализ осциллирующих решений СДУ с виноровской и пуассоновской составляющими методом А1онто-Карло // Сиб. жури, индустриальной математики. 20, № 2. 1) для различных н.у. можно строить сечения Пуанкаре, чем меньше сечение похоже на одномерный объект, тем более нерегулярна эта траектория.

Сейчас Вы строите проекцию для всех значений “времени”, из этого ничего внятного не следует, хотя для системы 1.5 можно построить 3d картинку, там уже все будет видно. Отсюда ясно, что а и (р являются медленно меняющимися переменными, так как правые части системы пропорциональны малому параметру в. В первой части проведено аналитическое исследование по системе первого приближения.

Смысл обозначений в – для постоянных коэффициентов с индексами i тот же, что и соответствующих обозначений без индексов в -. Как уже отмечалось в п.3.4.2, осциллятор ван дер поля это уравнение может удовлетворяться тождественно. Так, в частности, будет, если f(x,х) – f. Уравнение (3.80) может совсем не иметь решений.

В обзоре выделен лишь один момент его творчества, связанный с уравнением, носящим его имя, и удивительно широким диапазоном применения этого уравнения в естествознании. В обзоре изложены следующие вопросы. Биография ван дер Поля, его уравнение и предполагаемые предшественники.

Система уравнений может быть представлена, согласно численному методу Эйлера, в виде приближенного решения с шагом ∆t по схеме . Чем меньше шаг, тем выше точность, поэтому при использовании шаг выбирается достаточно малым из диапазона (0,0.001]. Функция Лагранжа эквивалентна разности кинетической и потенциальной энергий рассматриваемой механической системы. Заметим, что возможные потери полной механической энергии, согласно , не предусматриваются, и тела внутри такой системы могут взаимодействовать только друг с другом, то есть система консервативна и замкнута.

Синхронизация Колебаний Связанных Осцилляторов Ван Дер Поля

Одно из таких уравнений, характеризующее нелинейные колебания Ван дер Поля-Дуффинга, будет являться объектом нашего исследования. Предложен алгоритм нахождения численного решения исходного модельного уравнения, который основан на конечно-разностной схеме. Разработана компьютерная программа, реализующая этот алгоритм.

Учайкина эредитарным процессам посвящена целая глава, там же приведен пример эредитарного осциллятора, который был впервые изучен итальянским математиком В. Вольтерра, а результаты исследований были приведены в его работе . Эффект последействия или эредитарности характеризует зависимость текущего состояния системы от ее предыдущих состояний, необязательно от всех. Математическое описание эффекта памяти дается интегро-дифференциальным уравнением, при чем ядро этого уравнения называется функции памяти. В случае, когда функция памяти имеет степенной вид интегро-дифференциальное уравнение переходит в уравнение с производными дробных порядков, которые изучаются в рамках теории дробного исчисления . Исследуется влияние иуассоиовского шума на поведение стохастического осциллятора Ван-дер-Поля.

В работе рассмотрена модель осциллятора Ван дер Поля-Дуффинга с учетом эредитарности, которая была решена с помощью конечно-разностной схемы. С помощью численного решения в зависимости от различных значений управляющих параметров были построены осциллограммы и фазовые траектории. В неконсервативных системах модель линейного гармонического осциллятора не применима. С математической точки зрения осциллятор ван дер поля это может объясняться тем, что в соответствующем уравнении Лагранжа , записанном для модели математического маятника, отсутствует диссипативная функция, то есть нет возможности для учета силы трения в системе. Для этого в теоретической механике предлагается модифицировать уравнение введением диссипативной функции F в виде . Хорошо известное уравнение Ван дер Поля обладает простой динамикой.

Интерфейс программы приведен на рис.6. Якунин А1.А. Алексеева. ИВА1иА1Г СО РАН. Новосибирск. 8 12 октября 2018 г.

Эйлера. Представлены Результаты Расчетов Точек Равновесия Для

Во второй части рассмотрены численные методы Эйлера и Рунге-Кутта. Применяя один из этих методов, возможно нахождение приближенного решения системы дифференциальных уравнений. Уравнение – это классическое уравнение колебательного процесса в линейном приближении (“линейный гармонический осциллятор”), выведенном на примере математического маятника (рис. 1). Уравнение имеет аналитическое и численное решения. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений аналитическое решение для может быть определено при помощи подстановки Эйлера . колебательного контура лампового генератора, малый нараметр, характеризующий величину связи контура с электронной лампой, сила тока.

Это косвенно подтверждают соответствующие фазовые траектории (рис. 6). 3 мы можем заметить, что уменьшение значений дробного параметра существенного изменения в форму осциллограмм не вносит. Колебания со временем выходят на установившийся режим с постоянной амплитудой. Поэтому можно сделать вывод, что фазовые траектории выходят практически на один и тот же предельный цикл (рис. 4). Отметим, что дифференциальная задача Коши , является https://www.forexindikator.net/ жесткой при больших значений управляющего параметра , поэтому явная конечно-разностная схема будет работать в случае уменьшение шага сетки . Оценка шага – это отдельная задача, фактически связанная с качественными свойствами схемы – устойчивостью и сходимостью и в настоящей работе не рассматривалась. Будем считать, что значения параметра достаточно малы для того, чтобы в процессе вычислений не уменьшать шаг сетки , т.е.

Исследование На Различных Временных Масштабах Поведения Неавтономного Осциллятора Ван

Где то “рядом” и должна быть хаотическая динамика осциллятора. Попробуйте немного поиграть с начальными условиями и/или характеристиками силы и осциллятора в районе этих значений. Таким образом, ЭВМ изменили подход к применению математики как метода исследования. Они вызвали переориентацию многих сложившихся направлений математики и развитие ряда новых. Благодаря ЭВМ, идет интенсивный процесс математизации не только естественных и технических, но также и общественных наук.

Установлены качественные особенности автоколебаний, вызванные увеличением коэффициентов самовозбуждения; дано сопоставление осцилляторов. Приведено сравнение результатов численного исследования периодических решений уравнения Рэлея с известными решениями для квазилинейной постановки. Исследования стохастических осцилляторов с полиномиальной нелинейностью, в частности, осцилляторов Ван-дер-Поля и Дуффинга, при наличии нормального белого шума или пуассоновского шума ранее проводились в работах [1-3].

После отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению, и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель. Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изображенное на фазовой плоскости. Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля. Амплитудные кривые для вынужденного движения осциллятора Ван дер Поля (1.2.9). /./5.Стробоскопическое изображение на фазовой плоскости квазипериодических решений для осциллятора Ван дер Поля (1.2.9). Уравнения – определяют математическую модель связанной системы самохаотизируе-мых n генераторов Ван дер Поля.

Для этого необходимо свести уравнение к системе из двух уравнений первого порядка (по аналогии с ) и применить численный метод Эйлера. Схема такого итерационного численного решения может быть записана в виде с шагом ∆t. Набор численных решений для разных значений параметров α,β,γ представлен на рисунках 5-7, как интегрирование в режиме реального времени на основе JavaScript- программ. В работе предложена новая математическая модель осциллятора Ван дер Поля-Дуффинга с внешним периодическим воздействием с учетом эредитарности. Эредитарность или эффект памяти в динамической системе определяет зависимость текущих ее состояний от предыдущих и описывается с помощью интегро-дифференциальных уравнений. В работе рассмотрен специальный класс интегро-дифференциальных уравнений – уравнений с производными дробных порядков.

Достаточно подробные исследования различных моделей таких электрических устройств и их математических моделей можно найти в капитальном сочипении по теории колебаний А. Андронова, А. Витта, С. Ханкипа , Эти исследования используют различные варианты метода малого параметра, в частности метода, предложенного Ван-дер-Полем. Приведены результаты изучения перемежающегося осциллятор ван дер поля поведения неавтономного осциллятора, находящегося вблизи границы синхронизации, на различных временных масштабах наблюдения. Показано, что ниже границы синхронизации при определенных значениях параметра связи и на определенных временных масштабах проявления перемежаемости типа I с шумом и перемежаемости кольца будут наблюдаться одновременно.

Математическая модель фрактального осциллятора Ван-дер-Поля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. Существует определенная классификация перемежающегося поведения, в частности выделяют перемежаемость типа 1—111 , оп-оГ! -пере-межаемость , перемежаемость игольного ушка , перемежаемость кольца . Механизмы, приводящие к возникновению перемежающегося поведения каждого типа, также различны. — качаюсь) — система, совершающая колебания, то есть показатели которой периодически повторяются во времени. Анализ точности численного решения стохастических дифференциальных уравнений на суперкомпьютерах 2013 / Артемьев С.

При этом если коэффициент пропорциональности μимеет отрицательный знак, то это так называемое отрицательное трение (инжекция порций энергии в колебательную систему), а если положительный знак – происходит диссипация энергии. При диссипации энергии колебания носят затухающий характер, что, хорошо может наблюдаться в реальном физическом эксперименте. Определим уравнение линейного неконсервативного осциллятора в виде с учетом осциллятор ван дер поля малости угла отклонения φ≈sin(φ) колеблющегося груза. Отметим различия в колебаниях консервативных и автоколебательных систем. 5 видно, что отсутствие внешнего воздействия (рис.5a) приводит к росту амплитуды и начиная с некоторого момента времени ее значения выходят на постоянный уровень. Далее мы видим сложные по форме колебания, которые по-видимому, говорят о возможности много периодических решений задачи Коши и .

Во многих прикладных задачах этого бывает достаточно для решения. Во-вторых, в системе (3.70) медленные и быстрые переменные разделены. Определение фазы сводится к квадратурам (если амплитуда at) уже найдена из первого уравнения (3.70)). Но наибольший интерес обычно представляет не сама фаза у/. а у/а) скорость сс изменения в зависимости от амплитуды у/(а), это непосредственно дает второе уравнение системы (3.70). В заключении хочется отметить, что наличие различных колебательных режимов эредитарного осциллятора ВПД, требует дальнейшего его изучение. Например, интерес представляет построение карт динамических режимов и сечений Пуанкаере с целью классификации периодических решений, а также устойчивости точки покоя .

• где – управляющий параметр, – частота, а – амплитуда внешнего воздействия, – параметр фазовой нелинейности, определяющий не изохронность колебаний.
• Таким образом, метод Ван-дер-Поля дает вполне удовлетворительно приближение решения уравнения (3.72).
• Изложение асимптотических методов разделения движений начнем с эффективного способа решения нелинейных задач теории колебаний, разработанного голландским инженером Ван-дер-Полем.
• Это следует из того, что все остальные переменные рассматриваемой системы могут быть заданы как константы, например, длина подвеса l или масса груза m.Запишем функцию Лагранжа для данного случая в виде .

Предыдущий пример с осциллятором Дуффинга был не очень подходящим, вся эта динамика не обязательна, не будем усложнять . Но наверное из модели Ван дер Поля такого не получится. Где-то ошибка? Или что я должен сделать чтоб фазовый портрет стал “красивее”?

Лафарга, считал, что «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается воспользоваться математикой». Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия) эти уравнения можно заменить линейными. Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Другим распространенным явлением в колебательных процессах является отсутствие изохронности, то есть наличие явной функциональной зависимости между циклической частотой ω0 и амплитудой колебаний. Такая зависимость моделируется как ω0~φ2.Осциллятор Дуффинга можно отнести к нелинейным моделям такого типа.

Понятие осциллятора играет важную роль в физике и повсеместно используется, например, в квантовой механике и квантовой теории поля, теории твёрдого тела, электромагнитных излучений, колебательных спектров молекул. В принципе это понятие используется по крайней мере при описании почти любой линейной или близкой к линейности физической системы, и уже поэтому пронизывает практически всю физику. Примеры простейших осцилляторов — маятник и колебательный контур. 2 а-в приведены характерные реализации колебаний генератора Ван дер Поля с автокоммутацией, полученные при различных режимах работы. С целью устранения переходного режима реализации рассчитаны в интервале времени г е .

Подтверждается точка зрения К. осциллятор ван дер поля Маркса, который, по словам П.